层次分析法

概述

层次分析法（AHP）是一种用于解决多目标、多准则决策问题的数学方法，能够将复杂问题分解成多个层次，从而帮助决策者系统地分析和判断。

层次结构模型：目标层、准则层、方案层

• 目标层：最终的决策目标，例如选择最优演唱会地点。
• 准则层：评价目标的标准，例如景色、花费、饮食、男女比例。
• 方案层：待选择的选项，例如苏杭、北戴河、桂林。

层次分析法的结构

分析步骤

构造判断矩阵

定义 若矩阵满足

则称之为正互反矩阵（易见）。

矩阵中的元素值表示两个因素相对重要性的程度，例如，A比B重要3倍，则矩阵元素为3，反之为1/3。

确定权重

1. 一致性矩阵：
   • 满足列成倍数关系。
   • 直接归一化得出权重。
2. 非一致性矩阵：
   • 使用算术平均法计算每列权重，然后求平均值。
   • 或通过特征值法计算权重（优先推荐）。

一致性检验

定义 若为一致矩阵，则：

1. 必为正互反矩阵。

2. 的转置矩阵也是一致矩阵。

3. 的任意两行成比例，比例因子大于零，从而（同样，的任意两列也成比例）。

4. 的最大特征值，其中为矩阵的阶。的其余特征根均为零。

5. 若的最大特征值对应的特征向量为，则，，即

一致性的判断方法：

1. 正互反矩阵的秩为，的唯一非零特征根为
2. 正互反矩阵的任一列向量都是对于特征根的特征向量
3. 当正互反矩阵A不为一致阵时，其最大特征根；与​​相差越大，其不一致程度越大

定义一致性指标

计算一致性指标和随机一致性指标（查表），并计算一致性比率：

• 若，判断矩阵一致性可接受。
• 若，需调整矩阵。

标度的含义

标度	含义
	表示两个因素相比，具有相同重要性
	表示两个因素相比，前者比后者稍重要
	表示两个因素相比，前者比后者明显重要
	表示两个因素相比，前者比后者强烈重要
	表示两个因素相比，前者比后者极端重要
	表示上述相邻判断的中间值
倒数	若因素与因素的重要性之比为，那么因素与因素的重要性之比为

随机一致性指标

为了衡量的大小，引入随机一致性指标，先构造500个判断矩阵

分别计算其，于是得到它们的一致性指标；

定义一致性指标，常用随机一致性指标如下表所示：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51

定义一致性比率：

---

具体案例

问题背景

备选方案为苏杭、北戴河、桂林，考虑的准则包括景色、花费、饮食、男女比例。需要确定哪个方案最优。判断矩阵可以自行确定。

判断矩阵示例

准则层判断矩阵

准则	景色	花费	饮食	男女比例
景色	1	1/2	4	3
花费	2	1	5	5
饮食	1/4	1/5	1	1/4
男女比例	1/3	1/5	4	1

某准则下方案判断矩阵（以景色为例）

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	2	5
北戴河	1/2	1	2
桂林	1/5	1/2	1

计算权重

• 方法1：算术平均法
• 方法2：特征值法（优先推荐）

最终得分

方案	权重
苏杭	0.5199
北戴河	0.3339
桂林	0.1462

一致性检验

	权重	苏杭	北戴河	桂林	CI	CR/λ
景色	0.2910	0.5954	0.2764	0.1283	0.0028	0.0053/3.0055
花费	0.5022	0.4434	0.3874	0.1692	0.0091	0.0176/3.0183
饮食	0.0648	0.5396	0.2970	0.1634	0.0046	0.0088/3.0092
男女比例	0.1420	0.6267	0.2797	0.0936	0.0429	0.0825/3.0858
最终得分		0.5199	0.3339	0.1462

通过一致性检验。

• 一致性指标 CI 和 一致性比率 CR 均满足 ( CR < 0.1 )，矩阵一致性通过。